Quaternion kép (dual quaternion) là biểu diễn gọn gàng cho chuyển động cứng trong không gian 3D, kết hợp vị trí và hướng trong một biểu thức duy nhất.

• Định nghĩa lỗi điều khiển là e = 1 – x, với x là quaternion kép hiện tại, x_d là quaternion kép mong muốn.
• - Hai bộ điều khiển được đề xuất: u = NᵗKvec(e) và u = N⁺Kvec(e), với N là Jacobian có ràng buộc, vec(e) là biểu diễn vector của lỗi.
• - Ổn định được chứng minh bằng hàm Lyapunov V = vec(e)ᵗKvec(e).
• - Phân tích chi tiết ma trận chuyển đổi Laplace để tinh chỉnh tham số K sao cho đáp ứng động học mong muốn.
• - Thí nghiệm thực tế với robot Adept Viper S850 cho thấy cả hai bộ điều khiển đều đạt được mục tiêu, nhưng bộ điều khiển dùng nghịch đảo giả hội tụ nhanh hơn.
• - So sánh hiệu năng giữa phương pháp quaternion kép và phương pháp ma trận biến đổi đồng nhất (HTM): quaternion kép tính toán nhanh hơn, gọn hơn.
• - Phân tích ảnh hưởng của sai số hình học robot đến độ chính xác điều khiển: hệ thống vẫn ổn định dù có sai số nhỏ.